数集$E\subset \mathbb{R}$, 它的最小上界记为$supE$, 最大下界记为$infE$.

广义收敛: $\{X_n\}$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=a$, $+\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }$之一, $a\in \mathbb{R}$.

单调收敛原理: 单调有界数列必收敛. 单调数列必广义收敛.

注: $\{X_n\}$单调上升无上界, 则$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=+\mathrm{\infty }=sup\{X_n\}$.

闭区间套定理:

1. $[a_{n+1},b_{a+1}]\subset [a_n,b_n]$, $n=1,2,\dots$

2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0$
   则$\mathrm{\exists }$唯一的$c\in \mathbb{R}$,使$c\in [a_n,b_n]$, $n=1,2,\dots ,$
   即

聚点（极限点）: $E\subset \mathbb{R}$, $X_0\in \mathbb{R}$, 若对$\mathrm{\forall }\delta >0$, $U_0(x_0,\delta )\bigcap E\ne \varnothing$, 则称$x_0$是$E$的一个聚点.

命题：

1. $x_0$是$E$的聚点.
2. $\mathrm{\forall }\delta >0$, 在$U(x_0,\delta )$中有$E$的无穷多个点.
3. 存在$E$中互异的点组成的$\{X_n{\}}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$, 使$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=X_0$.
   $1)⟺2)⟺3)$

聚点原理: $\mathbb{R}$中任何一个有界无穷子集至少有一个聚点.

孤立点: $x\in E\subseteq \mathbb{R}$, 但$x_0$不是$E$的聚点.
此时必存在$\delta >0$, $U(x_0,\delta )\bigcap E=\{X_0\}$

定理: 设$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=a$ (广义极限), 则对$\{X_n\}$的任意子列$\{X_{n_k}\}$有$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_{n_k}=a$. 反之也成立.

定理: 有界数列必有收敛子数列.

稠密: $A\subseteq \mathbb{R}$, $B\subseteq \mathbb{R}$, $A$在$B$中稠密是指，$\mathrm{\forall }b\in B$, $b$是$A$的聚点, 或$b\in A$.

导集: $E\subseteq \mathbb{R}$, $E$的所有聚点构成的集合称为$E$的导集$E^{\prime }$.

闭包: $\bar{E}=E\bigcup E^{\prime }$.

定理:

• 收敛数列的极限是唯一的;
• 收敛数列是有界的;
• 改变收敛数列的有限多项, 不改变其极限值;
• 改变数列的有限多项, 不改变其敛散性.

上极限、下极限

$\{X_n\}$的最大聚点(可以是$+\mathrm{\infty }$)就是它的上极限($+\mathrm{\infty }$时为广义上极限), 最小聚点就是它的下极限.

设$h_n=sup\{X_n,X_{n+1},X_{n+2},\dots \}$, $$\varlimsup\limits_{ n \to \infty } X_{n}=\lim\limits_{ n \to \infty } \sup X_{n} = \lim\limits_{ n \to \infty } h_{n}$$

设$l_n=inf\{X_n,X_{n+1},X_{n+2},\dots \}$, $$\varliminf\limits_{ n \to \infty } X_{n}=\lim\limits_{ n \to \infty } \inf X_{n} = \lim\limits_{ n \to \infty } l_{n}$$

命题: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{X}_n⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{X}_n$.

命题: 设$\{x_n\}$, $\{y_n\}$有界, 则

• $x_n⩽y_n(n=1,2,\dots )⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{y}_n$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{y}_n$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}(-x_n)=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}(-x_n)=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{y}_n⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}(x_n+y_n)⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{y}_n$.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{y}_n⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}(x_n+y_n)⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{y}_n$.

• 若$x_n⩽0$, $y_n{⩽}_0$, $n=1,2,\dots$, 则

命题: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a⟺\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n=a$ ($a$是广义极限)

命题:$\{x_n\}$的任何聚点(未必属于$\{x_n\}$) 都可以找到一个$\{x_n\}$的收敛子列，使其极限等于它.

Cacuchy命题: 设$a$是广义实数$(\mathbb{R}\cup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\})$
(1)$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$，则$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n+A}}=a$($A$为常数);
(2)$x_n\text{>}0$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x_{n+1}}{x_n}}=a$, 则$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{x_n}=a$.

Stolz定理:
(1)${\displaystyle \frac{0}{0}}$型: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$, $\{a_n\}$严格单调递减, 且$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}}=l$($l$为广义实数), 则$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}=l$;
(2)${\displaystyle \frac{\ast }{+\mathrm{\infty }}}$型: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=+\mathrm{\infty }$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$, $\{a_n\}$严格单调递增, 且$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}}=l$($l$为广义实数), 则$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}=l$.

L'hospital法则:
(1)${\displaystyle \frac{0}{0}}$型: $f(x),g(x)$在$U_0(a,\delta )$上可导, 且$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$; $g^{{}^{\prime }}(x)\ne 0,\mathrm{\forall }x\in U_0(a,\delta )$; $\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f^{{}^{\prime }}(x)}{g^{{}^{\prime }}(x)}}=l$ ($l$为广义实数), 则$\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=l$.

注: 把$a$改为$+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$时(定义域相应修改)也成立。
注: 把$x\to a$改为$x\to a^{-}$或$x\to a^{+}$也成立。

(2)${\displaystyle \frac{\ast }{\mathrm{\infty }}}$型: $f(x),g(x)$在$U_0(a,\delta )$上可导且$\underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$; $g^{{}^{\prime }}(x)\ne 0,\mathrm{\forall }x\in U_0(a,\delta )$; $\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f^{{}^{\prime }}(x)}{g^{{}^{\prime }}(x)}}=l$ ($l$为广义实数), 则$\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=l$.

注: 把$a$改为$+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$时 (定义域相应修改), 也成立.
注: 把$x\to a$改为$x\to a^{-}$或$x\to a^{+}$, 也成立.

Stolz定理(函数形式):
$f(x),g(x)$在$[a,+\mathrm{\infty })$有定义, $T$是大于$0$的常数.

(1) ${\displaystyle \frac{0}{0}}$型: $0\text{<}g(x+T)\text{<}g(x),\mathrm{\forall }x⩾a$; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+T)=f(x)}{g(x+T)-g(x)}}=A$ ($A$是广义实数); 则$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=A$.
(2)${\displaystyle \frac{0}{0}}$型: $0\text{<}g(x+T)\text{<}g(x),\mathrm{\forall }x⩾a$; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+T)=f(x)}{g(x+T)-g(x)}}=A$ ($A$是广义实数); 则$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=A$.
(3)${\displaystyle \frac{\ast }{+\mathrm{\infty }}}$型: $g(x+T)\text{>}g(x),\mathrm{\forall }x⩾a$; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$, $f(x),g(x)$在$[a,+\mathrm{\infty })$上内闭有界, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+T)-f(x)}{g(x+T)-g(x)}}=A$ ($A$是广义实数); 则$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=A$.

说明:

• $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ 表示$\underset{x\to a}{lim}|f(x)|=+\mathrm{\infty }$.
• 区间有$(a,b),(a,b],[a,b),[a,b],[a,+\mathrm{\infty }),(a,+\mathrm{\infty }),(-\mathrm{\infty },b],(-\mathrm{\infty },b),(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$这几种类型.
• 内闭. 设$B$为区间, $\mathrm{\forall }$ 闭区间$[a,b]\subseteq B$, 称为内闭.

定理: 设$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$存在,
(1) 设极限值是唯一的;
(2) $\mathrm{\exists }{\delta }_0\text{>}0$, $f(x)$在$U_0(x_0,{\delta }_0)$上有界.

定理: 设$f(u)$在$U_0(u_0,{\delta }_1)({\delta }_1\text{>}0)$有定义, 且$\underset{u\to x{u}_0}{lim}f(u)=A$, $u=g(x)$在$U_0(x_0,{\delta }_0)({\delta }_0\text{>}0)$有定义, 当$x\in U_0(x_0,{\delta }_0)$时, 有$g(x)\in U_0(u_0,{\delta }_1)$, 且$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=u_0$, 则存在$\underset{x\to x_0}{lim}f(g(x))=A$.

强调, $g(x)\ne u_0$, 否则定理不成立, 读者可以自己思考举出反例.

定理: $f(x)$在$U_0(x_0,{\delta }_0)({\delta }_0\text{>}0)$上有定义, 则$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$的充要条件是: 对于$U_0(x_0,{\delta }_0)$内任意收敛于$x_0$的数列$\{x_n\}$都有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=A$.

定理: 设$u=g(x)$在点$x_0$连续, $y=f(u)$在点$u_0=g(x_0)$连续, 则$f(g(x))$在点$x_0$连续.

定理: 设$f(x)$在区间$I$上严格单调且连续, 则其反函数$x=f^{-1}(y)$在$f(I)$上严格单调且连续.

注: $f(I)$是一个区间. 任何区间上的连续函数的值域都是区间.

一般形式的中值定理: $f(x)$在$[a,b]$上连续, 在$(a,b)$上可导, 则$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$使$(f(b)-f(a))g^{{}^{\prime }}(x)=(g(b)-g(a))f^{{}^{\prime }}(x)$.

广义Rolle定理: $f(x)$在$(a,b)$上可导, $f(a^{+})=f(b^{-})=A$ ($A$是广义实数), 则存在$\xi \in (a,b)$, 使$f^{{}^{\prime }}(\xi )=0$ ($a,b$是广义实数).

Darboux定理: $f(x)$在$[a,b]$上可导, 则任何介于$f(a^{+}),f(b^{-})$之间的数$\eta$, $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b),f^{{}^{\prime }}(\xi )=\eta$.

单侧导数极限定理: 设$A$是广义实数, $f(x)$在$(a,b)$上可导, 在$a$处右连续, 若$\underset{x\to a^{+}}{lim}{f}^{{}^{\prime }}(x)=A$, 则$f_{+}^{{}^{\prime }}(a)$存在, 且$f_{+}^{{}^{\prime }}(a)=A$.

注: $f_{+}^{{}^{\prime }}(x_0)$表示$f(x)$在$x_0$处的右导数。
注: 左导数有类似定理。

Toeplitz定理: 定义$\{C_{n,k}\mid 1⩽k⩽n,n⩾1,n,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$; 定义$b_n=\sum _{k=1}^n{C}_{n,k}{a}_k(n=1,2,\cdots )$.
(I) $\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_{n,k}=0$;
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{C}_{n,k}=1$;
(*) $\mathrm{\exists }M\text{>}0,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\sum _{k=1}^n\left|C_{n,k}\right|⩽M$.
(II) 对$\mathrm{\forall }$收敛数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$收敛且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$.
(I)$\iff$(II).
注: $(\ast )$可换为$C_{n,k}⩾0(\mathrm{\forall }n,k)$.

广义Toeplitz定理: 定义$\{C_{n,k}\mid n,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$; 定义$b_n=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{C}_{n,k}{a}_k(n=1,2,\cdots )$.
(I)$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_{n,k}=0$; $\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{C}_{n,k}=1$;
$\mathrm{\exists }M\text{>}0,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\left|C_{n,k}\right|⩽M$.

对$\mathrm{\forall }$收敛数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$收敛且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$.

(I) $⟺(II)$

命题: $C_{n,k}$, $b_n$定义如Toplitz定理中的一样. 若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=+\mathrm{\infty }$, 则$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=+\mathrm{\infty }$.

命题: $\{a_{k,n}|k=1,2,\dots ,n,n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{\ast }}\}$, $\{b_{k,n}|k=1,2,\dots ,n,n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{\ast }},b_{k,n}\ne 0\}$. $\mathrm{\forall }ϵ>0$, $\mathrm{\exists }N$, $\mathrm{\forall }n>N$, $|{\displaystyle \frac{a_{k,n}}{b_{k,n}}}-1|<ϵ(k=1,2,\dots ,n)$ (对$k=1,2,\dots ,n$, 上式都同时成立).
如果$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{b}_{k,n}$存在, 则$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{a}_{k,n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{b}_{k,n}$.

定积分的换元积分: $f(x)\in C[a,b]$, ${\phi }^{\prime }(t)\in R[\alpha ,\beta ]$, $\phi (\alpha )=a$, $\phi (\beta )=b$, $a⩽\phi (t)⩽b$, ($a⩽t⩽\beta$), 则有$$\int_{a}^{b} f(x) , dx =\int_{\alpha}^\beta f(\varphi\left(t\right)) \varphi'(t) , dt .$$

定积分的分部积分: $u_x$, $v_x$在$[a,b]$上可导, $u^{\prime }(x)$, $v^{\prime }(x)\in R[a,b]$, 则有$$\int_{a}^{b} u(x)v'(x) , dx =u(x)v(x) \bigg|{a}^b-\int^b u'(x)v(x) , dx .$$

定理: 若$f(x)\in C[a,b]$, 则$f(x)\in R[a,b]$.

定理: $\varphi (x)$是$f(t)\in R[a,b]$的变上(下)限积分.

• 若$f(t)\in R[a,b]$, 则$\varphi (x)\in C[a,b]$;
• 若$f(t)\in C[a,b]$, 则$\varphi (x)$在$[a,b]$上可导, ${\varphi }^{\prime }(x)=f(x)$.